Introduzione
I concetti chiave per introdurre la statistica descrittiva.
Con il termine statistica intendiamo quella branca della matematica che studia, in termini sia qualitativi, sia quantitativi, un fenomeno collettivo. Essa analizza il metodo di raccolta, di sintesi e di rappresentazione dei dati inerenti appunto un fenomeno collettivo.
Dobbiamo al filosofo giurista e storico tedesco Gottfried Achenwall (1719 – 1772) il merito di aver coniato il termine statistica, intesa come scienza degli stati in quanto scienza finalizzata a trattare dati utili a governare meglio.
Per approcciarci alla scienza statistica bisogna premettere alcuni concetti chiave:
- Universo statistico
- Carattere
- Modalità
- Frequenza
Universo
È pertanto il gruppo interessato dall'indagine.
L'unità statistica è quindi ciascun elemento del gruppo che l'indagine osserva.
Campione
Se l'universo è particolarmente ampio, potrebbe essere troppo dispendioso se non impossibile condurre l'indagine su tante unità statistiche. In simili circostanze, si può decidere di indagare un suo sottoinsieme, detto appunto campione, che sia rappresentativo dell'insieme di appartenenza, ovvero ne conservi le caratteristiche.
Visto che i delicati criteri che determinano la scelta di un campione statistico prescindono dal presente discorso approcciativo e costituiscono il campo di pertinenza della statistica inferenziale, ci soffermiamo soltanto nell'evidenziare che le osservazioni di una indagine svolta sull'intero universo sono verificate, mentre l'indagine svolta su un campione fornisce una loro stima.
Carattere
È pertanto l'oggetto dell'indagine stessa.
Si indica con una lettera maiuscola e se l'indagine osserva un unico carattere per unità statistica, questo si indica con la lettera X, se ne osserva due il secondo si indica con la lettera Y.
Il carattere si classifica in: quantitativo; qualitativo.
Carattere quantitativo
Esprime una caratteristica di natura quantitativa, ovvero di tipo numerico (come il numero di figli, il peso, ecc.)
Si distinguono due tipi di carattere quantitativo:
- discreto: carattere che assume valori numerici discreti (come il numero di componenti del nucleo familiare, le taglie dei pantaloni, ecc.).
- continuo: carattere che assume valori numerici continui (come la temperatura misurata alle ore 6:00, la quota in metri sopra il livello del mare, ecc.).
Carattere qualitativo
Esprime una caratteristica di natura qualitativa, ovvero di tipo non numerico (come il colore dei capelli, il genere maschile o femminile, ecc.).
Si distinguono due tipi di carattere qualitativo:
- ordinabile: carattere facente parte di una scala ordinata (come i giudizi da insufficiente ad ottimo, le classi di rating attribuite dalle apposite agenzie, ecc.).
- sconnesso: carattere a cui non è attribuibile un ordine (come i titoli di studio, le marche delle autovetture, ecc.).
Modalità
Le modalità sono pertanto i dati che l'indagine ha osservato.
Queste si indicano in generale con una x minuscola, e per distinguere la prima dalla seconda ecc. si pone un indice numerico in pedice (xi): pertanto x1 indica la prima modalità, x2 la seconda e, se in tutto sono n, xn indica l'ultima.
Frequenza
Una volta raccolte tutte le modalità si possono organizzare secondo diverse distribuzioni.
Portiamo ad esempio una indagine statistica avente come:
Dopo aver svolto tutte le 10 interviste, si sono ottenute altrettante modalità. Le si possono rappresentare in due modi:
Distribuzione unitaria
Si ripete ciascuna modalità xi così come la si è osservata:
| xi | x |
|---|---|
| x1 | 3 |
| x2 | 1 |
| x3 | 2 |
| x4 | 2 |
| x5 | 1 |
| x6 | 2 |
| x7 | 2 |
| x8 | 3 |
| x9 | 2 |
| x10 | 3 |
e si potrebbe anche decidere di porle in ordine crescente:
| xi | x |
|---|---|
| x1 | 1 |
| x2 | 1 |
| x3 | 2 |
| x4 | 2 |
| x5 | 2 |
| x6 | 2 |
| x7 | 2 |
| x8 | 3 |
| x9 | 3 |
| x10 | 3 |
Distribuzione di frequenze
Rappresentando le modalità secondo una distribuzione di frequenze, invece che ripetere quelle uguali, si indicano una sola volta e si associa loro una frequenza assoluta (detta anche peso) che indica quante volte ciascuna di esse si ripete:
| xi | x | f | fi |
|---|---|---|---|
| x1 | 1 | 2 | f1 |
| x2 | 2 | 5 | f2 |
| x3 | 3 | 3 | f3 |
| n: | 10 |
Tra i 10 rappresentanti, 2 possiedono un animale domestico, 5 ne possiedono 2 e gli altri 3 ne possiedono 3.
Nota Bene: a ben vedere, le distribuzioni unitarie si possono immaginare come distribuzioni di frequenze ove le frequenze valgono tutte 1:
| xi | x | f | fi |
|---|---|---|---|
| x1 | 1 | 1 | f1 |
| x2 | 1 | 1 | f2 |
| x3 | 2 | 1 | f3 |
| x4 | 2 | 1 | f4 |
| x5 | 2 | 1 | f5 |
| x6 | 2 | 1 | f6 |
| x7 | 2 | 1 | f7 |
| x8 | 3 | 1 | f8 |
| x9 | 3 | 1 | f9 |
| x10 | 3 | 1 | f10 |
Si vedrà più avanti, che per ogni media c'è la versione semplice e una ponderata, perché le formule di adattano al fatto di avere una distribuzione unitaria o di frequenze, ma ovviamente sono gli stessi calcoli e la stessa media, semplicemente adeguati per essere usati su una distribuzione unitaria o su una di frequenze
Frequenze relative
Nell'esempio sopra, a possedere 2 animali domestici erano in 5, ma 5 è tanto o poco? Risulta facile intuire che, visto che l'indagine ha riguardato 10 persone, 5 su 10 sono la metà, ma se l'indagine ne avesse interessate 500, allora 5 avrebbe avuto un'importanza ben minore (\( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\% \;;\quad \frac{5}{500} = \frac{1}{100} = 0{,}01 = 1\% \)).
| x | f | fr |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2/10 |
| 2 | 5 | 5/10 |
| 3 | 3 | 3/10 |
| Σ | 10 | 10/10 |
Frequenze percentuali
Moltiplicando per 100 la frequenza relativa si ottiene la frequenza percentuale.
| x | f | fr | f% |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 0,20 | 20% |
| 2 | 5 | 0,50 | 50% |
| 3 | 3 | 0,30 | 30% |
| Σ | 10 | 1 | 100% |
Frequenze cumulate
Le frequenze cumulate sono una somma progressiva delle frequenze. Si possono indicare per ogni tipo di frequenza. La prima frequenza cumulata è uguale alla prima frequenza che si sta cumulando; si aggiunge quindi la seconda, la terza e così via sino all'ultima, che corrisponderà alla somma di tutte le frequenze.
| x | f | fc | fr | frc | f% | f%c |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 0,2 | 0,2 | 20% | 20% |
| 2 | 5 | 7 | 0,5 | 0,7 | 50% | 70% |
| 3 | 3 | 10 | 0,3 | 1 | 30% | 100% |
| Σ | 10 | 1 | 100% |
Chiedendosi ad esempio quanti siano i rappresentanti a possedere massimo 2 animali risponderemmo:
- 7 (2ª frequenza assoluta cumulata).
- 0,7 (2ª frequenza relativa cumulata).
- 70% (2ª frequenza percentuale cumulata).
n e k
Da ora in avanti indicheremo con:
- n il numero delle unità statistiche
- k il numero delle modalità
Nell'esempio portato sin ora, sono 3 le diverse modalità (un animale, due animali e tre animali) ed altrettante le rispettive frequenze (2, 5 e 3), quindi:
- k = 3 (modalità)
- n = 2 + 5 + 3 = 10 (unità statistiche)
In generale:
Note
- Se le modalità sono rappresentate come distribuzione unitaria, allora k = n; se invece le modalità rilevate si ripetono, rappresentandole come distribuzione di frequenze, allora k < n.
- Si è anticipato il simbolo Σ il cui significato verrà precisato tra poco, quando si parlerà di sommatoria.