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sistemi di numerazione

• sistemi non posizionali
• sistemi posizionali
• sistema decimale
• sistema binario
• sistema ternario
• sistema ottale
• sistema esadecimale
• conversione di sistema
• notazione posizionale
• divisioni successive

Un numero è un simbolo astratto che rappresenta una quantità

sistemi di numerazione

Nel corso della sua storia, l'uomo ha usato diversi metodi per rappresentare una quantità, questi vengono detti sistemi di numerazione.

Ne esistono due tipi:

• sistemi non posizionali
• sistemi posizionali

sistemi non posizionali

Nei sistemi non posizionali, non c'è corrispondenza tra la quantità rappresentata dal simbolo e la posizione che esso occupa nel numero.

Ad esempio, nel numero romano III (1+1+1=3), tutti tre i simboli valgono 1, quando invece nel nostro 111 il primo 1 (a sinistra) rappresenta la quantità 100 il successivo 10 e l'ultimo 1.

sistemi posizionali

Con questo termine intendiamo un modo di rappresentare i numeri, che attribuisce un diverso significato al simbolo usato, a seconda della posizione che occupa nel numero.

L'utilizzo di una sistema posizionale offre i vantaggi di poter:

• rappresentare grandi numeri utilizzando pochi simboli
• effetture operazioni

Si capisce bene che non offra questi vantaggi un sistema di numerazione additivo come quello romano dove per rappresentare il numero 1989 bisogna scrivere MCMLXXXIX e non è possibile svolgere una semplice operazione come:

14	+		XIV	+
7	=		VII	=
21			?

appunto perché non c'è corrispondenza tra le posizioni delle cifre e la quantita che esse rappresentano.

sistema decimale (base 10)

Il sistema decimale è quel sistema di numerazione posizionale che utilizza 10 simboli:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Quindi la massima quantità rappresentabile con un numero ad una cifra è 9.

sistema binario (base 2)

Il sistema decimale è quel sistema di numerazione posizionale che utilizza 2 simboli:

0

1

Quindi la massima quantità rappresentabile con un numero ad una cifra è 1.

sistema ternario (base 3)

Il sistema decimale è quel sistema di numerazione posizionale che utilizza 3 simboli:

0

1

3

Quindi la massima quantità rappresentabile con un numero ad una cifra è 2.

sistema ottale (base 8)

Il sistema decimale è quel sistema di numerazione posizionale che utilizza 8 simboli:

0

1

2

3

4

5

6

7

Quindi la massima quantità rappresentabile con un numero ad una cifra è 7.

sistema esadecimale (base 16)

Il sistema decimale è quel sistema di numerazione posizionale che utilizza 16 simboli:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

Per i simboli successivi al 9 valgono le seguenti corrispondenze:

base 16	base 10
A	10
B	11
C	12
D	13
E	14
F	15

Quindi la massima quantità rappresentabile con un numero ad una cifra è F ovvero 15.

conversione dal/al sistema decimale

Per convertire un numero da un sistema qualunque a quello decimale si usa la notazione posizionale, mentre per convertire un numero decimale ad un altro sistema, si usa il metodo delle divisioni successive.

notazione posizionale

La notazione posizionale, detta anche notazione polinomica, consiste nell'esprimere un numero come somma dei prodotti di ciascuna cifra per la potenza della base corrispondente a quella posizione.

base 10

$\begin{array}{l}2548.{73}_{\left(10\right)}=\\ =2·{10}^3+5·{10}^2+4·{10}^1+8·{10}^0+7·{10}^{-1}+3·{10}^{-2}=\\ =2·1000+5·100+4·10+8·1+7·\frac{1}{10}+3·\frac{1}{100}=\\ =2000+500+40+8+0.7+0.03=\\ =2548.{73}_{\left(10\right)}\end{array}$

In altre parole, 2548,73 significa sommare 2 migliaia, 5 centinaia, 4 decine, 8 unità, 7 decimi e 3 centesimi.

Esprimere con la notazione posizionale un numero in base 10, ha meri fini esplicativi, siamo infatti partiti da $2548.{73}_{\left(10\right)}$ per arrivare a dire che è uguale a se stesso: $2548.{73}_{\left(10\right)} = 2548.{73}_{\left(10\right)}$, però, in generale:

la notazione posizionale converte un numero da qualunque base alla base 10.

Seguono esempi per ogni sistema:

base 2

Utilizzando il sistema binario, ci si avvale di potenze con base 2:

$\begin{array}{l}{10011}_{\left(2\right)}=\\ =1·2^4+0·2^3+0·2^2+1·2^1+1·2^0=\\ =1·16+0·8+0·4+1·2+1·1=\\ =16+0+0+2+1=\\ ={19}_{\left(10\right)}\end{array}$

base 3

Utilizzando il sistema ternario, ci si avvale di potenze con base 3:

$\begin{array}{l}{10122}_{\left(3\right)}=\\ =1·3^4+0·3^3+1·3^2+2·3^1+2·3^0=\\ =1·81+0·27+1·9+2·3+2·1=\\ =81+0+9+6+2=\\ ={98}_{\left(10\right)}\end{array}$

base 8

Utilizzando il sistema ternario, ci si avvale di potenze con base 8:

$\begin{array}{l}{1357}_{\left(8\right)}=\\ =1·8^3+3·8^2+5·8^1+7·8^0=\\ =1·512+3·64+5·8+7·1=\\ =512+192+40+7=\\ ={751}_{\left(10\right)}\end{array}$

base 16

Utilizzando il sistema esadecimale, ci si avvale di potenze con base 16:

$\begin{array}{l}2A{F}_{\left(16\right)}=\\ =2·{16}^2+10·{16}^1+15·{16}^0=\\ =2·256+10·16+15·1=\\ =512+160+15=\\ ={687}_{\left(10\right)}\end{array}$

metodo delle divisioni successive

Grazie al metodo delle divisioni successive, si ottiene il risultato inverso rispetto alla notazione posizionale, ovvero si converte un numero espresso secondo il sitema decimale nell'equivalente espresso in un altro sistema.

Questo metodo consiste nel dividere il numero decimale per la base di destinazione, appuntare quoziente e resto, quindi continuare a dividere il quoziente sinché questo non raggiunga lo zero. Leggendo in ordine inverso i resti ottenuti si ottiene il numero espresso nel sistema desiderato.

Seguono esempi per ogni sistema:

base 2

Per convertire in binario il numero decimale 22 bisogna seguire questo metodo:

2
22

quindi svolgere 22:2 ovvero 11 con il resto di 0.

Indicare sotto il quoziente e a destra il resto:

2
22	0
11

Continuare con 11:2 ottenendo 5 con il resto di 1:

2
22	0
11	1
5

Calcolare 5:2 ottenendo 2 con il resto di 1:

2
22	0
11	1
5	1
2

Quindi 2:2 ottenendo 1 con il resto di 0:

2
22	0
11	1
5	1
2	0
1

Per ultimo 1:2 ottenendo 0 con il resto di 1:

2
22	0
11	1
5	1
2	0
1	1
0

Leggendi ora i resti dal basso verso l'altro, si ottiene il numero in base 2:

${22}_{\left(10\right)} = {10110}_{\left(2\right)}$

base 3

Per convertire il numero decimale 46 in ternario si eseguono divisioni successive per 3:

• 46 : 3 = 15 con il resto di 1.
• 15 : 3 = 5 con il resto di 0.
• 5 : 3 = 1 con il restodi 2.
• 1 : 3 = 0 con il resto di 1.

3
46	1
15	0
5	2
1	1
0

Quindi:

${46}_{\left(10\right)} = {1201}_{\left(3\right)}$

base 8

Per convertire il numero decimale 87 in ottale si eseguono divisioni successive per 8:

• 87 : 8 = 10 con il resto di 7.
• 10 : 8 = 1 con il resto di 2.
• 1 : 8 = 0 con il resto di 1.

8
87	7
10	2
1	1
0

Quindi:

${87}_{\left(10\right)} = {127}_{\left(8\right)}$

base 16

Per convertire il numero decimale 303 in esadecimale si eseguono divisioni successive per 16:

• 303 : 16 = 18 con il resto di 15 (F).
• 18 : 16 = 1 con il resto di 2.
• 1 : 16 = 0 con il resto di 1.

16
303	15
18	2
1	1
0

Quindi:

${303}_{\left(10\right)} = 12F_{\left(16\right)}$