Medie algebriche

Le medie algebriche sono quelle che, considerando tutti i dati, si ottengono applicando una formula matematica, quindi si applicano quando il carattere dell'indagine è di tipo quantitativo.

Per ciascuna media algebrica, si distinguono i casi semplice e ponderata, la prima da applicarsi a distribuzioni unitarie e l'altra a distribuzioni di frequenze. Così come la frequenza è detta anche peso, così anche le medie ponderate vengono dette anche pesate, proprio in quanto tengono conto del peso (frequenza) che le modalità hanno nella distribuzione.

Visto però che le distribuzioni unitarie si possono leggere come distribuzioni di frequenze ove la frequenza è sempre 1, allora la regola generale e sempre applicabile è quella della media ponderata e la variante semplice altro non è che un suo caso particolare e semplificato, perché non è utile moltiplicare per qualcosa che è sempre 1.

Media aritmetica

La media aritmetica di un insieme di dati numerici è quel valore che, sostituito ai dati, lascia invariata la loro somma.

La più importante media algebrica è la media aritmetica: essendo la media maggiormente utilizzata, viene detta anche semplicemente media.

Il suo valore perde di significato quando i dati presentano valori eccezionali, ed è tanto più indicativa quanto i dati sono tra loro omogenei (per quantificare la variabilità di un insieme di dati si vedano gli indici di variabilità).

In sostanza è il rapporto tra la somma dei valori ed il loro numero.

semplice:

\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}

ponderata:

\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i}{n}

Esempio: media aritmetica semplice

Date 5 distanze in metri:

x_i	x
x₁	12
x₂	3
x₃	7
x₄	20
x₅	8

allora, la distanza media è:

\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5} = \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} = \frac{12+3+7+20+8}{5} = \frac{50}{5} = 10 \; m

Esempio: media aritmetica ponderata

Gli studenti del corso di statistica descrittiva, una volta sostenuto l'esame finale, hanno ricevuto le votazioni (in punti trentesimali) rappresentate secondo la seguente distribuzione di frequenze:

x	f
16	5
18	3
22	12
25	19
27	7
30	7

allora, il voto medio è:

\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i}{n} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + x_3 f_3 + x_4 f_4 + x_5 f_5 + x_6 f_6}{f_1+f_2+f_3+f_4+f_5+f_6} = \frac{16\cdot5+18\cdot3+22\cdot12+25\cdot19+27\cdot7+30\cdot7}{5+3+12+19+7+7} = \frac{1272}{53} = 24 \; \text{punti trentesimali}

Proprietà

Una proprietà della media aritmetica consiste nell'essere un indice di tendenza centrale che annulla la media degli scarti da se stessa. Considerando cioè un insieme di valori di media M, i rispettivi scarti (valore − M), ovvero le distanze relative dalla media M, si compensano: la somma di quelli negativi è uguale in valore assoluto a quella degli scarti positivi, quindi la loro somma e la loro media è nulla.

La distribuzione dei dieci valori è rappresentata dall'istogramma. La retta tratteggiata indica la media aritmetica (x̄ = 7).

Inoltre, la media aritmetica è quel valore centrale il quale, considerando il quadrato degli scarti tra ciascun dato ed essa, rende minima la loro somma (quel valore centrale che rende minima la somma degli scarti assoluti è la mediana).

Per altre proprietà della media aritmetica si veda proprietà delle medie.

Note

Nella formula della media aritmetica ponderata, la f utilizzata indica la frequenza assoluta, perché se si usassero le frequenze relative non occorrerebbe dividere la sommatoria per n. È infatti facilmente dimostrabile che:

\begin{aligned} \overline{x} &= \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot f_i}{n} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + \dots + x_k f_k}{n} \\ &= \frac{x_1 f_1}{n} + \frac{x_2 f_2}{n} + \dots + \frac{x_k f_k}{n} \\ &= x_1 \cdot \frac{f_1}{n} + x_2 \cdot \frac{f_2}{n} + \dots + x_k \cdot \frac{f_k}{n} \\ &= x_1 \cdot fr_1 + x_2 \cdot fr_2 + \dots + x_k \cdot fr_k = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot fr_i \end{aligned}

Si noti che se l'insieme di valori di cui si calcola la media sono tra loro uguali, la loro media sarà lo stesso valore; quindi, lo stesso ragionamento in senso opposto ci dice che se la media di un insieme di valori è K, allora è come se essi fossero tutti uguali a K.

Media quadratica

La media quadratica di un insieme di dati numerici è quel valore che, sostituito ai dati al quadrato, lascia invariata la loro somma.

È una media che trova largo utilizzo per l'analisi delle superfici ed in statistica soprattutto per la correzione degli errori ed il calcolo della dispersione (vedi deviazione standard).

In generale, si ricorre a questa media nel caso di superfici e quando la distribuzione presenta valori sia positivi sia negativi e non si vogliono considerare i segni.

In sostanza è il lato del quadrato medio: è infatti la radice quadrata del quadrato medio dei valori (intendendo con quadrato medio la media aritmetica dei valori considerati al quadrato).

semplice:

\overline{x}_q = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}}{n}}

ponderata:

\overline{x}_q = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^{2} \cdot f_i}{n}}

Esempio: media quadratica semplice

Si immagini di avere a disposizione 5 magazzini di forma quadrata per stoccare i materiali della nostra impresa; i rispettivi lati dei magazzini, misurati in metro, sono:

x_i	x
x₁	3
x₂	4
x₃	7
x₄	9
x₅	5

In questo caso, per lato medio, ci si attende quello del quadrato avente la superficie media, ovvero ci si chiede: rispetto alla superficie, qual è il lato medio?

x	x²
3	9
4	16
7	49
9	81
5	25
Σ	180

Il quadrato medio è 180/5 = 36, quindi la media quadratica (il lato medio) è √36 = 6 m. Applicando infatti la formula:

\overline{x}_q = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}}{n}} = \sqrt{\frac{x_1^{2}+x_2^{2}+x_3^{2}+x_4^{2}+x_5^{2}}{5}} = \sqrt{\frac{3^{2}+4^{2}+7^{2}+9^{2}+5^{2}}{5}} = \sqrt{\frac{9+16+49+81+25}{5}} = \sqrt{\frac{180}{5}} = \sqrt{36} = 6 \; m

Esempio: media quadratica ponderata

Misurando una stessa temperatura con 100 termometri, rispetto alla temperatura media, le misurazioni presentavano delle oscillazioni che, espresse in centesimi di grado centigrado, hanno prodotto la seguente distribuzione di frequenze:

x	f
−1,1	20
−0,1	50
0,9	30

Volendo capire la distanza media rispetto alla temperatura media rilevata, non potremo calcolare la media aritmetica, poiché otterremmo zero (vedi proprietà della media aritmetica); ne calcoleremo allora la media quadratica, così:

x	f	x²	x² · f
−1,1	20	1,21	24,2
−0,1	50	0,01	0,5
0,9	30	0,81	24,3
Σ	100		49

Il quadrato medio è 49/100 = 0,49, quindi la media quadratica è √0,49 = 0,7 centesimi di grado. Applicando infatti la formula:

\overline{x}_q = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^{2} \cdot f_i}{n}} = \sqrt{\frac{x_1^{2} f_1 + x_2^{2} f_2 + x_3^{2} f_3}{f_1+f_2+f_3}} = \sqrt{\frac{1{,}21\cdot20 + 0{,}01\cdot50 + 0{,}81\cdot30}{20+50+30}} = \sqrt{\frac{24{,}2+0{,}5+24{,}3}{100}} = \sqrt{\frac{49}{100}} = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7

Quindi, l'oscillazione standard è di 7 millesimi di grado Celsius.

Proprietà

Vedi proprietà delle medie.

Altre medie

Ai fini del presente corso sono strettamente necessarie soltanto la media aritmetica e la media quadratica, ma risultano a volte indispensabili anche altri indici di posizione centrale come la media geometrica e armonica.

In generale, si ricorre alla media aritmetica quando i dati di cui si vuole individuare un indice di tendenza centrale seguono una scala lineare, ma essi possono ricondursi a scale non lineari come una scala logaritmica o di reciproci, nel qual caso si ricorre alle medie geometrica o armonica.

Media geometrica

La media geometrica di un insieme di dati numerici è quel valore che, sostituito ai dati, lascia invariato il loro prodotto.

Sicuramente indispensabile è la media geometrica per individuare fattori di variazione medi. Serve in generale per distribuzioni che seguono una progressione geometrica: si usa quando i dati oggetto dell'indagine sono valori che per loro natura vanno tra loro moltiplicati.

In sostanza è la radice n-esima del prodotto degli n fattori.

semplice:

\overline{x}_g = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i}

ponderata:

\overline{x}_g = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{k} x_i^{f_i}}

Nota Bene: la media geometrica prevede che nessuno dei valori sia nullo (perché annullerebbe il prodotto) e neanche negativo (vedi approfondimento).

Esempio: media geometrica semplice (fattori di variazione)

Portiamo ad esempio il caso della variazione del prezzo di un bene osservato il 1° gennaio negli anni dal al :

anno	prezzo EUR
	1,40
	1,75
	2,10
	2,31

Rapportando i prezzi andiamo a misurare i fattori di variazione annuali:

prezzo EUR	fattore di variazione	%
1,40
1,75	F₁ = 1,75/1,40 = 1,25	125%
2,10	F₂ = 2,10/1,75 = 1,2	120%
2,31	F₃ = 2,31/2,10 = 1,1	110%

Partendo dal valore iniziale di 1,40 EUR e moltiplicandolo per il fattore di variazione 1,25, otterremmo il prezzo del bene dell'anno successivo, e continuando anno per anno:

\begin{aligned} 1{,}40 \cdot 1{,}25 &= 1{,}75 \\ 1{,}75 \cdot 1{,}20 &= 2{,}10 \\ 2{,}10 \cdot 1{,}10 &= 2{,}31 \end{aligned}

quindi:

1{,}40 \cdot 1{,}25 \cdot 1{,}20 \cdot 1{,}10 = 2{,}31

Indicando il valore iniziale con V_i, con F₁, F₂ ed F₃ i fattori di variazione annuali e con V_f il valore finale, avremmo:

\begin{aligned} V_i \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot F_3 &= V_f \\ V_i \cdot F_m \cdot F_m \cdot F_m &= V_f \\ F_1 \cdot F_2 \cdot F_3 &= F_m \cdot F_m \cdot F_m \\ F_1 \cdot F_2 \cdot F_3 &= F_m^{3} \\ F_m^{3} &= F_1 \cdot F_2 \cdot F_3 \\ F_m &= \sqrt[3]{F_1 \cdot F_2 \cdot F_3} \end{aligned}

Applicato al caso in esempio, per trovare un fattore medio di variazione operiamo la media geometrica dei tre fattori di variazione:

\overline{x}_g = \sqrt[3]{1{,}25 \cdot 1{,}20 \cdot 1{,}10} = \sqrt[3]{1{,}65} \simeq 1{,}1817

Moltiplicando infatti il valore iniziale per la media geometrica dei fattori di variazione per tre volte, otterrei il valore al terzo anno; si avrebbe ovviamente un errore usando la media aritmetica.

Esempio: media geometrica semplice (superfici)

Conoscendo le dimensioni dei lati di un fondo agricolo di forma rettangolare, se ne ricava facilmente la superficie; si vorrebbe sapere quale lato avrebbe un fondo della stessa superficie di forma quadrata.

lato 1	lato 2	area	radice
25	16	25 · 16 = 400	√400 = 20

Un fondo agricolo di forma quadrata e lato 20 avrebbe la stessa superficie di quello rettangolare di lati 25 e 16. Altro non abbiamo svolto che la media geometrica dei lati: infatti, rispetto all'area, i lati sono valori che vanno tra loro moltiplicati, si cerca pertanto un valore medio il quale, se sostituito ai dati, ne lasci invariato il prodotto. Applicando infatti la formula:

\overline{x}_g = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} = \sqrt[2]{x_1 \cdot x_2} = \sqrt[2]{25 \cdot 16} = \sqrt[2]{400} = 20 \; m

si ricava il lato medio.

Si noti che grazie alla media geometrica si trova il lato medio rispetto al prodotto: infatti ci interessava avere la medesima superficie. Ma se avessimo voluto conoscere il lato di un fondo agricolo avente lo stesso perimetro, allora avremmo cercato un valore medio che lasciasse invariata la somma, ovvero la media aritmetica dei lati (20,5 m).

Esempio: media geometrica ponderata

Nella media geometrica ponderata, i fattori si ripeteranno tante volte quanto indicato in frequenza; pertanto, andandone a calcolare la media geometrica, si avrebbero dei fattori che si ripetono, quindi una potenza.

Portiamo ad esempio quello di una banca che propone un investimento quinquennale di 1000 EUR che matura interessi con un tasso variabile:

interesse	anni
5%	3
10%	2

Nel dettaglio, gli sviluppi dell'investimento sarebbero:

anno	interesse	fattore di variazione	EUR
1° anno	5%	1,05	1050,000
2° anno	5%	1,05	1102,500
3° anno	5%	1,05	1157,625
4° anno	10%	1,10	1273,388
5° anno	10%	1,10	1400,726

Partendo dalla nostra situazione:

x	f
1,05	3
1,10	2

calcoliamo il fattore di variazione medio:

\overline{x}_g = \sqrt[5]{1{,}05^{3} \cdot 1{,}10^{2}} = 1{,}0697

Quindi, l'interesse medio è:

(1{,}0697 - 1) \cdot 100 = 6{,}97\%

e non del 7% come ci direbbe erroneamente la media aritmetica.

Proprietà

Vedi proprietà delle medie.

Approfondimento

Perché la media geometrica non può operarsi su valori negativi? Deriva dalla sua definizione, infatti:

\begin{aligned} \overline{x}_g &= \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \\ \log \overline{x}_g &= \log \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \\ \log \overline{x}_g &= \log (x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n)^{\frac{1}{n}} \\ \log \overline{x}_g &= \frac{\log (x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n)}{n} \\ \log \overline{x}_g &= \frac{\log x_1 + \log x_2 + \ldots + \log x_n}{n} \end{aligned}

Scoprendo che il logaritmo della media geometrica è uguale alla media aritmetica dei logaritmi dei valori (la base è indifferente), si capisce perché questi non possano essere valori negativi.

Media armonica

La media armonica di un insieme di dati numerici è quel valore che, sostituito ai dati, lascia invariata la somma dei loro reciproci.

È una media utile quando il fenomeno da indagare è dato dal reciproco dei dati rilevati, ovvero quando il fenomeno in oggetto segue una scala dei reciproci.

Si usa ad esempio la media armonica quando si studia la produttività (reciproco del tempo) o anche il potere di acquisto di una moneta (reciproco del prezzo).

In sostanza è il reciproco della media dei reciproci.

semplice:

\overline{x}_a = \frac{1}{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}{n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}

ponderata:

\overline{x}_a = \frac{1}{\dfrac{\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{x_i}\cdot f_i}{n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{k}\frac{f_i}{x_i}}

Nota Bene: la media armonica prevede che nessuno dei valori sia nullo, perché lo zero non ha reciproco.

Esempio: media armonica semplice

Ad esempio portiamo il caso di una casa automobilistica che dispone di 6 linee di montaggio e vuole confrontare i tempi (in giorni) che le linee impiegano a montare la stessa autovettura.

linea	x
1	4
2	6
3	8
4	6
5	8
6	6

Si noti che la produttività è data dal reciproco del tempo (1/x_i): misura cioè il lavoro compiuto nell'unità di tempo. Ad esempio, la produttività della linea 1, che monta l'auto in 4 giorni, è 1/4, ovvero monta 1/4 di auto al giorno.

La media armonica dei tempi si calcola così:

x	1/x
4	1/4
6	1/6
8	1/8
6	1/6
8	1/8
6	1/6
Σ	24/24

la produttività media è (24/24)/6 = 1/6, quindi il tempo medio è il suo reciproco: 1/(1/6) = 6 g. Applicando infatti la formula:

\overline{x}_a = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}} = \frac{6}{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{6}} = \frac{6}{\frac{6}{24}+\frac{4}{24}+\frac{3}{24}+\frac{4}{24}+\frac{3}{24}+\frac{4}{24}} = \frac{6}{\frac{24}{24}} = \frac{6}{1} = 6 \; g

Esempio: media armonica ponderata

Se i tempi delle linee di montaggio appena visti ci fossero stati forniti sotto forma di distribuzione di frequenze:

x	f
4	1
6	3
8	2

allora avremmo dovuto calcolare la media armonica ponderata:

\overline{x}_a = \frac{n}{\sum_{i=1}^{k}\frac{f_i}{x_i}} = \frac{6}{\frac{1}{4}\cdot1 + \frac{1}{6}\cdot3 + \frac{1}{8}\cdot2} = \frac{6}{\frac{1}{4}+\frac{3}{6}+\frac{2}{8}} = \frac{6}{\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4}} = \frac{6}{1} = 6 \; g

Proprietà

Vedi proprietà delle medie.

Proprietà delle medie

Parlando di proprietà delle medie, enumeriamo le principali:

sommando o sottraendo a tutti i valori uno stesso valore K, allora la loro media sarà aumentata o diminuita di K;
moltiplicando o dividendo tutti i valori per uno stesso valore k, allora la loro media crescerà o diminuirà di k volte.

Quindi, in sintesi, la media subisce la stessa variazione se la subiscono tutti i valori.

Nella seguente tabella è mostrato quali di queste due proprietà valgano per ciascuna delle medie trattate:

media	1	2
media aritmetica	•	•
media quadratica		•
media geometrica		•
media armonica		•

Forse poi è utile precisare che se l'insieme di valori è compreso tra un minimo m ed un massimo M, allora la loro media è necessariamente interna al medesimo intervallo (vero per tutte le quattro medie analizzate):

\text{se } \forall x_i \in \mathbb{R},\; i = 1, \dots, n : m \leqslant x_i \leqslant M \;\Rightarrow\; m \leqslant \overline{x} \leqslant M

Media generalizzata

Probabilmente non si è notato che le quattro medie analizzate si possono ricondurre ad una stessa generica media. Questa è detta media generalizzata o media di potenza.

In sostanza è la radice p-esima della media aritmetica dei valori elevati all'esponente p.

semplice:

M_p = \sqrt[p]{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^{p}}{n}} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^{p}}{n}\right)^{\frac{1}{p}}

ponderata:

M_p = \sqrt[p]{\frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^{p}\cdot f_i}{n}} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^{p}\cdot f_i}{n}\right)^{\frac{1}{p}}

Si noti che a seconda del valore di p otterremo una delle quattro medie viste. Infatti avremo:

con p = 1, M₁ = media aritmetica;
con p = 2, M₂ = media quadratica;
con p → 0, M₀ = media geometrica;
con p = −1, M₋₁ = media armonica.

Ordine delle medie

Nel caso i valori siano tutti uguali, allora le loro quattro medie sarebbero tutte uguali ai dati; altrimenti, i loro valori saranno crescenti al crescere di p.

M_{-1} \leqslant M_0 \leqslant M_1 \leqslant M_2