Indici di variabilità

Gli indici di variabilità (detti anche indici di dispersione) sono quegli strumenti che consentono di misurare la variabilità di una distribuzione statistica quantitativa.

In sostanza ci indicano quanto differiscano tra loro un insieme di valori numerici.

Volendo sintetizzare un insieme di modalità si possono usare una o più medie, ma la descrizione risulterebbe sommaria senza quantificare la variabilità dell'insieme in esame.

Nel caso di modalità tutte uguali fra loro, ovvero di variabilità nulla, tutti gli indici di variabilità produrranno zero, ma maggiore sarà la diversità tra le modalità, maggiori saranno i valori ricavati come indici di variabilità.

Partiamo da un esempio:

Si immagini un gioco a premi che si svolga da 10 anni e preveda i seguenti premi:

estratto	EUR
1°	1000
2°	200
3°	100

Aggiungiamo che ogni anno, siano stati stampati e venduti 100 biglietti per partecipare al gioco.

Ora ci si chiede:

qual è la vincita media dei primi classificati di tutti i 10 anni?
qual è la vincita media dei tre premiati?
qual è la spesa media per partecipante che gli organizzatori hanno sostenuto ogni anno?

Le risposte saranno:

\overline{x} = \frac{1000 \cdot 10}{10} = 1000 \; \text{€}

\overline{x} = \frac{1000 + 200 + 100}{3} = \frac{1300}{3} = 433{,}\overline{3} \; \text{€}

\overline{x} = \frac{1000 \cdot 1 + 200 \cdot 1 + 100 \cdot 1 + 0 \cdot 97}{100} = \frac{1300}{100} = 13 \; \text{€}

Come si vede, nel primo caso la media fornisce un valore estremamente significativo, meno nel secondo e per il terzo la media fornisce una sintesi assai poco indicativa; infatti, come evidenziato parlando della media aritmetica, essa perde di significato all'aumentare della variabilità dei valori sintetizzati.

Portiamo un secondo esempio:
Un gruppo di 10 persone, in tasca, ha in media 10 €. Si noti che in tutti i seguenti casi avrebbe comunque in media 10 € se:

Ogni persona ha 10 €
Metà gruppo ha 9 € e l'altra metà 11 €
Hanno tutti 0 € salvo uno che ha 100 €

Risulta evidente che nel primo caso il valor medio fornisce una sintesi perfetta, nel secondo una rappresentazione rappresentativa del gruppo che nel terzo invece è del tutto fuorviante (in questo terzo caso sarebbe più significativo usare il valore mediano).

Dovrebbe ormai risultare chiaro che le medie algebriche, rappresentano una sorta di baricentro e pertanto risentono negativamente dei valori estremi, di dati troppo poco omogenei.

Portiamo come ultimo esempio un paesino:
Si sa che il reddito medio è non esagerato, ma comunque molto alto. Saremmo portati a pensare che sia un paesino di persone molto benestanti, ma come escludere che una parte del paese sia costituita da poveri e l'altra da molto ricchi? Oppure che il reddito medio sia generalmente basso, salvo quello di un residente miliardario che inficia la significatività della media?

Sia per determinare la significatività della media aritmetica, sia in generale, ovvero per descrivere meglio un insieme di valori numerici, vediamo come si misura la variabilità di una distribuzione statistica.

In generale distinguiamo tra indici di variabilità assoluti e relativi:

assoluti	relativi
campo di variazione	coefficiente di variazione
scarto semplice mediano
scarto semplice medio
varianza
deviazione standard (o scarto quadratico medio)

Gli indici di variabilità assoluti sono espressi con la medesima unità di misura delle modalità (per la varianza l'unità di misura è al quadrato).

Gli indici di variabilità relativi sono numeri puri esprimibili in percentuale.

Campo di variazione

Il campo di variazione misura l'ampiezza dell'intervallo in cui ricadono tutte le modalità.

Il campo di variazione (detto anche intervallo di variabilità) è la differenza tra il valore massimo e quello minimo. Essendo una differenza, non mi dispiace indicarlo con la lettera greca delta maiuscola (Δ).

campo di variazione:

\Delta = x_{max} - x_{min}

Nota Bene: il campo di variazione è un indice di variabilità debole visto che tiene in considerazione soltanto due modalità, la maggiore e la minore; inoltre è suscettibile a valori eccezionali che ne inficiano la significatività.

Esempio: campo di variazione

Osservando la spesa giornaliera (in €) di un gruppo di persone si è ricavata la seguente distribuzione unitaria:

x
7
8
10
11
14
16
17
19
20
33

Il campo di variazione si calcola così:

\Delta = x_{max} - x_{min} = 33 - 7 = 26 \; \text{€}

Ovvero le modalità ricadono tutte in un intervallo di 26 €, ma graficamente:

si nota meglio che la modalità 33 €, in quanto eccezionale, porta il campo di variazione da 13 € (20 − 7) a 26 €, pregiudicandone la significatività.

Si aggiunga che se le 10 modalità fossero state tutte 7 € esclusa una 33 €, oppure tutte 33 € esclusa una 7 €, il campo di variazione sarebbe stato sempre 26 €.

Nota Bene: si rimanda ad altra fonte la trattazione del più stabile campo di variazione interquartile.

Gli scarti

Per ottenere un indice di variabilità che consideri tutte le modalità, ci si riferisce ai loro scarti da un indice di posizione centrale.

Con scarto (detto anche deviazione o scostamento) intendiamo la distanza che separa ciascuno dei dati da un medesimo valore centrale che di norma è la loro media aritmetica.

Disponendo di n modalità, otterremo n scarti, visto che ciascuna modalità si scosta dalla media di una quantità pari alla loro differenza:

\text{scarto} = x - \bar{x}

A questo punto, tutti i valori inferiori alla media avranno uno scarto negativo e tutti gli altri uno positivo.

Portando ad esempio la seguente distribuzione unitaria che riporta il numero di promossi in dieci sessioni di uno stesso esame:

sessione	promossi
1ª	12
2ª	9
3ª	10
4ª	14
5ª	16
6ª	18
7ª	16
8ª	10
9ª	18
10ª	17
Σ	140

La media aritmetica dei promossi si ottiene

\frac{140}{10} = 14 \; \text{promossi}

si calcolano quindi gli scarti così:

x	scarto
12	12 − 14 = −2
9	9 − 14 = −5
10	10 − 14 = −4
14	14 − 14 = 0
16	16 − 14 = 2
18	18 − 14 = 4
16	16 − 14 = 2
10	10 − 14 = −4
18	18 − 14 = 4
17	17 − 14 = 3
Σ	0

Ricordando infatti che la media aritmetica è quel valore che se sostituito ai dati produce la stessa somma, è facilmente dimostrabile che la somma degli scarti relativi è nulla:

\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x}) &= (x_1 - \overline{x}) + (x_2 - \overline{x}) + \dots + (x_n - \overline{x}) = \\ &= x_1 + x_2 + \dots + x_n - n\overline{x} = \\ &= (x_1 + x_2 + \dots + x_n) - (x_1 + x_2 + \dots + x_n) = 0 \end{aligned}

Proprietà delle medie rispetto agli scarti

Si evidenzia che per le proprietà della mediana, calcolando gli scarti rispetto ad essa, la somma dei loro valori assoluti è la minore possibile, ma si rimanda ad altra fonte la trattazione completa dello scarto semplice mediano, il quale trova scarso utilizzo in quanto la mediana, essendo una media di posizione, non considera tutti i dati a disposizione, ma soltanto quello (o la coppia) centrale.

Come appena dimostrato, per le proprietà della media aritmetica la somma degli scarti relativi (dalla media) è nulla.

Si ricorda che, sempre per le proprietà della media aritmetica, la somma degli scarti al quadrato (dalla media) è la minore possibile.

Scarto semplice medio

Come appena precisato parlando degli scarti dalla media, essendo nulla la loro somma è ovviamente nulla anche la loro media; ergo, lo scarto semplice medio relativo è un valore nullo per le proprietà della media aritmetica.

Considerando però gli scarti in valore assoluto otterremo lo scarto (o scostamento) semplice medio.

Lo scarto semplice medio è la media aritmetica degli scarti assoluti.

semplice:

S = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \overline{x}|}{n}

ponderato:

S = \frac{\sum_{i=1}^{k} |x_i - \overline{x}| \cdot f_i}{n}

Esempio: scarto semplice medio

Portiamo ad esempio la distribuzione unitaria vista sopra riguardante il numero di promossi in dieci sessioni di un medesimo esame:

sessione	promossi
1ª	12
2ª	9
3ª	10
4ª	14
5ª	16
6ª	18
7ª	16
8ª	10
9ª	18
10ª	17
Σ	140

Essendo la media di 14 promossi, calcoliamo lo scarto semplice medio assoluto così:

sessione	promossi	scarto relativo	scarto assoluto
1ª	12	12 − 14 = −2	\|12 − 14\| = 2
2ª	9	9 − 14 = −5	\|9 − 14\| = 5
3ª	10	10 − 14 = −4	\|10 − 14\| = 4
4ª	14	14 − 14 = 0	\|14 − 14\| = 0
5ª	16	16 − 14 = 2	\|16 − 14\| = 2
6ª	18	18 − 14 = 4	\|18 − 14\| = 4
7ª	16	16 − 14 = 2	\|16 − 14\| = 2
8ª	10	10 − 14 = −4	\|10 − 14\| = 4
9ª	18	18 − 14 = 4	\|18 − 14\| = 4
10ª	17	17 − 14 = 3	\|17 − 14\| = 3
Σ	140	0	30

Quindi lo scarto semplice medio assoluto vale

\frac{30}{10} = 3 \; \text{promossi}

Applicando la formula:

\begin{aligned} S &= \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \overline{x}|}{n} = \frac{|x_1 - \overline{x}| + |x_2 - \overline{x}| + \dots + |x_n - \overline{x}|}{n} = \\ &= \frac{|12-14|+|9-14|+|10-14|+|14-14|+|16-14|+|18-14|+|16-14|+|10-14|+|18-14|+|17-14|}{10} = \\ &= \frac{|-2|+|-5|+|-4|+|0|+|2|+|4|+|2|+|-4|+|4|+|3|}{10} = \\ &= \frac{2+5+4+0+2+4+2+4+4+3}{10} = \frac{30}{10} = 3 \; \text{promossi} \end{aligned}

Scarto semplice mediano

Nota Bene: quando abbiamo parlato della mediana, non abbiamo tralasciato la sua proprietà di rendere minima la somma degli scarti da essa. Se ovvero si calcolano gli scarti tra ciascun valore e la mediana, la loro somma sarà la più piccola possibile, pertanto più piccola rispetto a qualunque altro valore preso come centro. Lo scarto semplice mediano si calcola come lo scarto semplice medio, salvo il fatto che invece della media si usa la mediana. Esula la nostra disanima degli indici di variabilità il suo approfondimento salvo precisare che:

sarà sempre minore o uguale rispetto allo scarto semplice medio.
non risentirà di valori estremi, essendo basato su un indice di posizione, la mediana, che non considera tutti i dati ma solo quello (o la coppia) centrale.

Deviazione standard (o scarto quadratico medio)

Eccoci finalmente giunti al Re degli indici di variabilità: la deviazione standard.

Ribadiendo ancora due proprietà della media aritmetica:

La somma degli scarti (relativi) da essa è nulla (essendo un indice di tendenza centrale non rispetterebbe la sua natura se le distanze positive non fossero identiche a quelle negative).
È quel valore per cui si rende minima la somma degli scarti al quadrato da essa.

Si potrebbe intuire da soli che considerando gli scarti al quadrato otterremo lo scarto quadratico medio, detto anche deviazione standard. Si suole indicarla con la lettera greca sigma minuscola (σ)

Ovviamente, dal momento in cui si opera il quadrato degli scarti, si ovvia al problema del segno, ma poi una volta fatta la loro media, sul quadrato medio di opererà una radice quadrata. Se non lo si facesse (e si restasse al quadrato medio invece del suo lato), anche l'unità di misura resterebbe al quadrato: non cm, ma cm². NB: Si parlerebbe in questo caso di varianza e non di deviazione standard

La deviazione standard è il lato del quadrato medio delle distanze dalla media.

semplice:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} \left(x_i - \overline{x}\right)^{2} }{n}}

ponderato:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{k} \left(x_i - \overline{x}\right)^{2} \cdot f_i}{n}}

Esempio: deviazione standard

Portiamo ad esempio le votazioni ottenute da una classe al compito in classe di informatica:

Studente	Voto
Studente 1	6
Studente 2	7
Studente 3	5
Studente 4	5½
Studente 5	8
Studente 6	4
Studente 7	6½
Studente 8	7½
Studente 9	6
Studente 10	4½
Studente 11	8½
Studente 12	5½
Studente 13	7
Studente 14	6½
Studente 15	4
Studente 16	5
Studente 17	9
Studente 18	6
Studente 19	4½
Studente 20	7½
Studente 21	5½
Studente 22	6½
Studente 23	3
Studente 24	8
Studente 25	6
Studente 26	7
Studente 27	3½
Studente 28	5

Media: 6 · Deviazione standard: 1,5

Ogni barra rappresenta il voto di uno studente. La linea rossa indica la media (6).

Misurando in questo modo la variabilità capiamo che rispetto al voto medio (6), i voti si scostano in media (sopra e sotto il 6) di 1,5 punti.

Risulterebbe più chiaro capire i risultati della verifica se, invece di usare una distribuzione unitaria di voti, ossia quella sopra con ciascun studente ed il suo voto, si riportassero i risultati come distribuzione di frequenze, ossia per ciascun voto, quanti studenti lo hanno ottenuto (la frequenza assoluta), così:

voto	f
3	1
3½	1
4	2
4½	2
5	3
5½	3
6	4
6½	3
7	3
7½	2
8	2
8½	1
9	1

Stavolta il grafico sarà quello sotto, dal quale si evince che la parte evidenziata, quella compresa tra \(\overline{x} - \sigma = 6 - 1{,}5 = 4{,}5\) e \(\overline{x} + \sigma = 6 + 1{,}5 = 7{,}5\) contiene 20 voti su 28.
Più del 71% dei voti ricade nell'intervallo \(\overline{x}\pm\sigma\).

Calcoli

Il grafico mostra bene i passaggi per il calcolo della deviazione standard, che abbiamo determinato in 1,5 punti decimali.

Questi che seguono sono i calcoli per la deviazione standard semplice:

Studente	Voto	Scarto	Scarto²
Studente 1	6	6 − 6 = 0	0² = 0
Studente 2	7	7 − 6 = 1	1² = 1
Studente 3	5	5 − 6 = −1	(−1)² = 1
Studente 4	5½	5,5 − 6 = −0,5	(−0,5)² = 0,25
Studente 5	8	8 − 6 = 2	2² = 4
Studente 6	4	4 − 6 = −2	(−2)² = 4
Studente 7	6½	6,5 − 6 = 0,5	0,5² = 0,25
Studente 8	7½	7,5 − 6 = 1,5	1,5² = 2,25
Studente 9	6	6 − 6 = 0	0² = 0
Studente 10	4½	4,5 − 6 = −1,5	(−1,5)² = 2,25
Studente 11	8½	8,5 − 6 = 2,5	2,5² = 6,25
Studente 12	5½	5,5 − 6 = −0,5	(−0,5)² = 0,25
Studente 13	7	7 − 6 = 1	1² = 1
Studente 14	6½	6,5 − 6 = 0,5	0,5² = 0,25
Studente 15	4	4 − 6 = −2	(−2)² = 4
Studente 16	5	5 − 6 = −1	(−1)² = 1
Studente 17	9	9 − 6 = 3	3² = 9
Studente 18	6	6 − 6 = 0	0² = 0
Studente 19	4½	4,5 − 6 = −1,5	(−1,5)² = 2,25
Studente 20	7½	7,5 − 6 = 1,5	1,5² = 2,25
Studente 21	5½	5,5 − 6 = −0,5	(−0,5)² = 0,25
Studente 22	6½	6,5 − 6 = 0,5	0,5² = 0,25
Studente 23	3	3 − 6 = −3	(−3)² = 9
Studente 24	8	8 − 6 = 2	2² = 4
Studente 25	6	6 − 6 = 0	0² = 0
Studente 26	7	7 − 6 = 1	1² = 1
Studente 27	3½	3,5 − 6 = −2,5	(−2,5)² = 6,25
Studente 28	5	5 − 6 = −1	(−1)² = 1
Media	6	0	2,25
Radice			1,50

Ed i seguenti quelli che avremmo dovuto usare nel secondo caso, perché avendo la distribuzione di frequenza dei voti, ogni voto con la sua frequenza, si sarebbe dovuta calcolare la deviazione standard ponderata:

Voto	f	Scarto	Scarto²	Scarto²·f
3	1	3 − 6 = −3	(−3)² = 9	9 · 1 = 9
3½	1	3,5 − 6 = −2,5	(−2,5)² = 6,25	6,25 · 1 = 6,25
4	2	4 − 6 = −2	(−2)² = 4	4 · 2 = 8
4½	2	4,5 − 6 = −1,5	(−1,5)² = 2,25	2,25 · 2 = 4,5
5	3	5 − 6 = −1	(−1)² = 1	1 · 3 = 3
5½	3	5,5 − 6 = −0,5	(−0,5)² = 0,25	0,25 · 3 = 0,75
6	4	6 − 6 = 0	0² = 0	0 · 4 = 0
6½	3	6,5 − 6 = 0,5	0,5² = 0,25	0,25 · 3 = 0,75
7	3	7 − 6 = 1	1² = 1	1 · 3 = 3
7½	2	7,5 − 6 = 1,5	1,5² = 2,25	2,25 · 2 = 4,5
8	2	8 − 6 = 2	2² = 4	4 · 2 = 8
8½	1	8,5 − 6 = 2,5	2,5² = 6,25	6,25 · 1 = 6,25
9	1	9 − 6 = 3	3² = 9	9 · 1 = 9
Σ	28
Media	6	0		2,25
Radice				1,5

Varianza

La varianza è il quadrato medio degli scarti, e si indica con σ²:

\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} \left(x_i - \overline{x}\right)^{2}}{n}

Si calcola come la deviazione standard, ma ci ferma prima di estrarre la radice quadrata, per questo si indica con σ².

La si potrebbe quindi vedere come la deviazione standard elevata al quadrato.

Nota Bene: ci si affidi ad altre fonti per la trattazione della varianza, che elude gli scopi del presente sito.

Coefficiente di variazione

Concludiamo in bellezza con l'indice di variabilità che reputo più importante.

Qualunque indice si sia usato per misurare la variabilità della distribuzione che si analizza, finora si è rimasti ancorati nella medesima unità di misura delle modalità.

Potremmo confrontare la deviazione standard che si è calcolata da modalità in cm, con un'altra distribuzione della stessa grandezza in cm e la cui media poi sia abbastanza simile.
Non potremmo pertanto quindi:

confrontare la nostra distribuzione con un'altra di diversa unità di misura
ma soprattutto capire se quella variabilità che abbiamo misurato sia alta o bassa

3 cm è tanto o è poco? Né tanto, nè poco ovviamente se non lo rapportiamo ad un altro valore.

Il coefficiente di variazione è il rapporto tra la deviazione standard e la media aritmetica.

Ribadiamo ufficialmente che gli indici di variabilità assoluti sono espressi nella stessa unità di misura delle modalità. Questo li rende inadatti al confronto tra distribuzioni con unità di misura diverse, oppure con medie molto distanti tra loro.

Inoltre una deviazione standard di 3 € ha un significato ben diverso se la media è 5 € oppure 500 €.

Il coefficiente di variazione supera questo limite: essendo il rapporto tra due grandezze della stessa unità di misura, è un numero puro, spesso espresso in percentuale, e pertanto direttamente confrontabile tra distribuzioni diverse.

Esso risponde alla domanda quanto è importante quella distanza media dal centro rispetto alla media stessa? conferisce pertanto un peso alla variabilità misurata dalla deviazione standard.

formula:

CV = \frac{\sigma}{\overline{x}}

o, in percentuale:

CV\% = \frac{\sigma}{\overline{x}} \cdot 100

Nota Bene: il coefficiente di variazione è significativo solo quando la media è positiva e sufficientemente lontana da zero; in caso contrario il rapporto perde di interpretabilità.

Esempio 1: confronto tra distribuzioni di diversa unità di misura

Si considerino le altezze (in cm) e i pesi (in kg) di un gruppo di studenti:

	media \(\overline{x}\)	dev. std. \(\sigma\)
Altezza (cm)	168	8,4
Peso (kg)	65	9,1

Confrontare direttamente le deviazioni standard (8,4 cm vs 9,1 kg) non ha senso per via delle unità di misura diverse. Calcolando il coefficiente di variazione:

\begin{aligned} CV_{\text{altezza}} &= \frac{8{,}4}{168} \cdot 100 = 5\% \\[6pt] CV_{\text{peso}} &= \frac{9{,}1}{65} \cdot 100 = 14\% \end{aligned}

Si conclude che i pesi sono proporzionalmente quasi tre volte più variabili delle altezze, un'informazione che i valori assoluti da soli non permettevano di cogliere.

Esempio 2: capire l'importanza della variabilità

Un gruppo di studenti vorrebbe andare a pranzo in un ristorante cinese che adotta la formula dell'all you can eat con una spesa fissa di 25 €.

Hanno in media 25 €, infatti:

x_i	€
x₁	17
x₂	19
x₃	21
x₄	22
x₅	25
x₆	25
x₇	28
x₈	29
x₉	31
x₁₀	33

Il fatto che non abbiano tutti esattamente 25 € si desume dal fatto che la deviazione standard non è 0 bensì 5 €

\[ \overline{x} = 25\text{ €},\quad \sigma = 5\text{ €},\quad CV = 40\% \]

Ci si chiede:
Il gruppo potrebbe andare al ristorante? Hanno abbastanza soldi per pagare?

Sì, ma soltanto se chi ha più di 25 € dona tutto il proprio resto ai compagni che non raggiungono tale somma.

Prima di decidere sul da farsi il gruppo controlla il biglietto della loro giocata ad una lotteria istantanea e scopre di aver vinto 1000 €, ovvero 100 € ciascuno.

Cosa avviene ora ai nostri tre indicatori?

Ogni barra rappresenta la disponibilità economica di uno studente (in euro).

	Prima	Dopo
\[ \overline{x} \]	25 €	125 €
\[ \sigma \]	5 €	5 €
\[ CV \]	40%	4%

Come si vede, la media, cresce esattamente di 100 € (vedi proprietà delle medie), la deviazione standard non muta, essa misura lo scostamento medio dalla media, ma si intuisce che se. ad esempio il quarto studente con 22 € si collocava 3 € sotto la media di 25 €, con 122 € resta sempre 3 € sotto la media di 125 €.

È solo grazie al coefficiente di variazione che apprezziamo il cambiamento dato dalla vincita, perché 5 € rispetto a 25 € (40%) hanno un peso diverso rispetto a 125 € (4%).