Medie di posizione

Le medie di posizione considerano soltanto alcuni dati e non si occupano di manipolarli con operazioni matematiche, bensì soltanto della loro posizione o ripetizione nella distribuzione.

Moda

La moda (detta anche norma) è la modalità che si presenta il maggior numero di volte.

Il suo significato in statistica è simile a quello in gergo comune. Si desume dalla sua definizione che la moda è la modalità cui è associata la frequenza maggiore.

Nel caso sia una la modalità che presenta la frequenza maggiore di tutte le altre, allora la distribuzione si dirà unimodale, se due bimodale, se tre trimodale, ecc. ecc.

Esempio

Continuiamo con l'esempio dell'indagine che ha osservato il numero di animali domestici intervistando 10 rappresentanti di classe di un istituto superiore. Aveva prodotto la seguente distribuzione di frequenze:

x	f
1	2
2	5
3	3

Come si osserva, la modalità che ricorre più spesso è 2 animali domestici, ovvero 5 volte, quindi:

moda = 2 animali

Nota Bene: la moda è l'unica tra le medie che ammetta caratteri sia quantitativi, sia qualitativi.

Mediana

La mediana è la modalità che si trova al centro di una distribuzione ordinata.

Per la mediana (e soltanto per questa media) è indispensabile che le modalità siano in ordine (crescente o decrescente): essa è quella che si trova al centro. Ne deriva che il carattere bisogna che sia quantitativo o qualitativo ordinabile.

Di fatto, la mediana divide la distribuzione in due: lascia prima di sé la metà delle modalità e dopo di sé l'altra metà.

In altre parole, è quella modalità la cui frequenza percentuale cumulata vale 50% (oppure lo raggiunge, o lo supera).

Essendo la mediana la modalità centrale, bisognerà distinguere i casi di un numero totale di modalità dispari o pari:

se questo è dispari, allora esiste una modalità centrale che ne lascerà tante prima quante dopo;
se pari, avremo non una, ma una coppia di modalità che dividono in due la distribuzione.

n dispari

Quando n è dispari, la mediana è la modalità nella posizione \( \dfrac{n+1}{2} \).

1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª	7ª
x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇

Nel caso siano in tutto 7 modalità, la mediana è la 4ª modalità (ne conta 3 prima e 3 dopo):

Me = x_{\frac{n+1}{2}} = x_{\frac{7+1}{2}} = x_{\frac{8}{2}} = x_4

Esempio (n dispari)

Portiamo ad ulteriore esempio una indagine avente come carattere il numero di pizze consumate nell'ultimo mese. Ha prodotto la seguente distribuzione unitaria:

x
5
1
4
2
4
5
2
5
3
1
2

che, una volta ordinata, appare così:

x_i	x
x₁	1
x₂	1
x₃	2
x₄	2
x₅	2
x₆	3
x₇	4
x₈	4
x₉	5
x₁₀	5
x₁₁	5

Essendo n = 11 (dispari), la mediana è quella modalità che si trova nella posizione \( \dfrac{11+1}{2} \) (lascia 5 modalità prima e 5 dopo):

Me = x_{\frac{11+1}{2}} = x_{\frac{12}{2}} = x_6 = 3 \text{ pizze}

Avendo una distribuzione di frequenze, per trovare la modalità che occupa la posizione centrale ci si avvale delle frequenze cumulate, controllando la modalità a cui corrisponde la frequenza cumulata che raggiunge la posizione cercata.

Per trovare la 6ª modalità si cumulano le frequenze sino a raggiungere 6: la mediana è la modalità corrispondente (3 pizze):

x	f	f_c
1	2	2
2	3	5
3	1	6
4	3	9
5	2	11
Σ	11

n pari

Quando n è pari, le modalità centrali sono due, cioè quelle nelle posizioni \( \dfrac{n}{2} \) e \( \dfrac{n}{2}+1 \).

Di regola la mediana è stimata in funzione di questi due valori centrali perché sia un valore compreso tra i due, e convenzionalmente si opera la loro semisomma (o media aritmetica che dir si voglia).

1ª	2ª	3ª	4ª	5ª	6ª	7ª	8ª
x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	x₈

Nel caso siano in tutto 8 modalità, le centrali sono la 4ª e la 5ª (ne contano 3 prima e 3 dopo) e la mediana è:

Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} = \frac{x_{\frac{8}{2}} + x_{\frac{8}{2}+1}}{2} = \frac{x_4 + x_5}{2}

Esempio (n pari)

Portiamo lo stesso esempio dell'indagine sul numero di pizze consumate nell'ultimo mese, svolto su un secondo gruppo di persone. Dalle interviste si è desunta la seguente distribuzione di frequenze:

x	f	f_c
1	2	2
2	3	5
3	4	9
4	6	15
5	3	18
Σ	18

Essendo n pari (18), le modalità centrali sono 2:

\( x_{\frac{18}{2}} = x_9 \)
\( x_{\frac{18}{2}+1} = x_{10} \)

Usando le frequenze cumulate si vede che la 9ª modalità è l'ultima dei 3 (f_c = 9), e la successiva, la 10ª, è la prima dei 4. Infatti:

Me = \frac{x_{\frac{18}{2}} + x_{\frac{18}{2}+1}}{2} = \frac{x_9 + x_{10}}{2} = \frac{3+4}{2} = 3{,}5 \text{ pizze}

Proprietà della mediana

La mediana è quel valore centrale il quale, considerando gli scarti assoluti tra ciascun dato ed essa, rende minima la loro somma.

Disponendo cioè di un insieme di valori e volendo che la somma delle loro distanze assolute (sinonimo di scarti, differenze, deviazioni) da un medesimo valore centrale sia la più piccola possibile, ebbene tale valore è la mediana.

Esempio d'uso della mediana

Un distributore dovrà rifornire 6 attività commerciali tutte lungo un'unica strada; partendo dalla prima, misura le loro distanze progressive (in km) ottenendo:

attività	progressiva (km)
1	0
2	9
3	15
4	17
5	33
6	40

Vorrebbe costruire un magazzino in maniera che sia più vicino possibile alle 6 attività, quindi tale che la somma delle distanze assolute delle attività dal magazzino sia la minima. Si cerca allora la mediana:

Me = \frac{x_{\frac{6}{2}} + x_{\frac{6}{2}+1}}{2} = \frac{x_3 + x_4}{2} = \frac{15+17}{2} = 16 \text{ km}

Costruendo il magazzino alla kilometrica 16 (a 16 km dalla prima attività) si ottiene che:

x_i	x	\|x − Me\|
x₁	0	\|0 − 16\| = 16
x₂	9	\|9 − 16\| = 7
x₃	15	\|15 − 16\| = 1
x₄	17	\|17 − 16\| = 1
x₅	33	\|33 − 16\| = 17
x₆	40	\|40 − 16\| = 24
Σ		66

Una somma delle distanze minore di 66 km non si sarebbe ottenuta con nessun altro valore.

Nota Bene:

Se si fosse considerata come valore centrale di riferimento la media aritmetica, la somma delle distanze da questo (degli scarti assoluti) sarebbe stata 70 km.
Se l'ultima attività fosse stata alla chilometrica 100 invece che 40, la mediana sarebbe stata la stessa. In generale, se fossero state diverse tutte le altre chilometriche escluse le due centrali, la mediana non sarebbe cambiata.

Approfondimento: i quantili

La mediana è parte di un più ampio discorso: i quantili. È infatti il quantile di ordine ½ (divide in due la distribuzione). Altri esempi di quantili molto utilizzati sono i quartili ed i percentili, ma vengono considerati approfondimenti che eludono il tono squisitamente introduttivo del presente lavoro.

In statistica, i quantili sono quei valori che dividono in un dato numero di parti una distribuzione di modalità ordinate.

I principali quantili sono:

Mediana — divide la distribuzione in 2 parti uguali.
Quartili — dividono la distribuzione in 4 parti uguali.
Quintili — dividono la distribuzione in 5 parti uguali.
Decili — dividono la distribuzione in 10 parti uguali.
Ventili — dividono la distribuzione in 20 parti uguali.
Centili (percentili) — dividono la distribuzione in 100 parti uguali.