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Sommatoria e produttoria

Le notazioni sintetiche per la somma (Σ) e il prodotto (Π) di più termini.

È bene premettere alla trattazione delle medie algebriche il significato di sommatoria e produttoria. Se lo si conoscesse già si passi pure oltre.

Sommatoria

La sommatoria è una notazione sintetica della somma di un insieme di addendi.

Portando un semplice esempio, si pensi al conto della spesa che ci viene calcolato alla cassa del supermercato. Si immagini di aver acquistato cinque diversi articoli i cui rispettivi prezzi siano:

articoloprezzo €
114,90
22,50
38,60
415,50
53,50
spesa:45

Indicando con p i prezzi, per distinguerli aggiungiamo un indice progressivo in pedice così da avere p1 che indica il primo prezzo, p2 il secondo, sino a p5 che indica l'ultimo prezzo:

prezziprezzo €
p114,90
p22,50
p38,60
p415,50
p53,50
S:45

La formula che ci viene applicata alla cassa per calcolare la spesa S, è:

\[ S = p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 \]

Indicando con i l'indice progressivo dei prezzi (1, 2, … 5) possiamo dire che la spesa è la somma dei prezzi pi per i che va da 1 a 5.

Quindi:

\[ S = p_1 + p_2 + \dots + p_5 \]

indicato come sommatoria è:

\[ \sum_{i=1}^{5} p_i \]

che si legge «sommatoria per i che va da 1 a 5 di p con i».

Avendo acquistato gli stessi articoli, ma ciascuno in quantità diverse:

articoloprezzo €quantità
114,904
22,505
38,604
415,501
53,508
S:150

per calcolare la spesa bisogna sommare i prodotti dei prezzi di ciascun articolo per la rispettiva quantità:

\[ \sum_{i=1}^{5} p_i \cdot q_i \]

che equivale a dire:

\[ S = p_1 \cdot q_1 + p_2 \cdot q_2 + \dots + p_5 \cdot q_5 \]

Non necessariamente però si acquistano 5 articoli, se fossero stati 7 l'indice i andrebbe da 1 a 7.

In generale, indicando con n il numero degli articoli acquistati, la formula per la spesa è:

\[ S = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot q_i \]

Che è come dire che la spesa S è data dalla somma dei prodotti di ciascun prezzo e la rispettiva quantità, dal primo (i=1) all'ultimo (i=n).

Nota Bene: il simbolo usato per la sommatoria è la lettera greca sigma maiuscola Σ, sigma minuscola è σ.

Produttoria

La produttoria è una notazione sintetica del prodotto di un insieme di fattori.

Per la produttoria vale quanto detto sopra per la sommatoria ma, non indica la somma di un insieme di numeri, bensì il loro prodotto.

Ad esempio:

\[ \prod_{i=1}^{7} x_i = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot x_5 \cdot x_6 \cdot x_7 \]

Nota Bene: il simbolo usato per la produttoria è la lettera greca Pi maiuscola Π, Pi minuscola è π (detta anche p greco).