Analisi multivariata

Analisi multivariata

Sin ora ci si è occupati di indagini statistiche che riguardavano un solo carattere, infatti, per ciascuna unità statistica si è osservato un solo carattere, si è quindi ricavata una modalità per ogni unità. Normalmente però viene chiesto alla statistica di sintetizzare molteplici osservazioni operate su ciascuna unità, ad esempio, parlando di una indagine sulle famiglie italiane, si vorrà sapere il loro reddito, il numero di componenti, quanti dei componenti sono genitori e quanti figli, il numero di automobili possedute, il numero di stanze della casa che abitano ecc. ecc. Si parlerà in questo caso di analisi multivariata.

Analisi bivariata

Il caso più semplice di analisi multivariata è ovviamente quella bivariata, ovvero quella che si occupa di analizzare soltanto due caratteri. Osservando due caratteri, che chiameremo genericamente X ed Y, si rileveranno due modalità per ciascuna unità statistica. Le distribuzioni di frequenze ottenute saranno quindi bidimensionali e non monodimensionali come nel caso di indagini che riguardano un solo carattere.

Esempio: ad un gruppo di studenti delle scuole superiori si è chiesto quanti telefoni cellulari avessero acquistato negli ultimi tre anni (x_i) ed anche la loro età (y_j). Quindi:

carattere X = numero di telefoni cellulari acquistati negli ultimi tre anni.

carattere Y = età.

Le osservazioni sono state le seguenti:

Tabella a doppia entrata

Per la rappresentazione tabulare di distribuzioni bidimensionali, si utilizza una tabella a doppia entrata ove si indicheranno in ciascuna cella le frequenze congiunte, cioè quelle che realizzano contemporaneamente sia la modalità x_i di quella riga, sia la y_j di quella colonna. Queste tabelle si dicono:

• tabelle di contingenza, nel caso che almeno uno dei due caratteri sia di natura qualitativa.
• tabelle di correlazione, nel caso che i caratteri siano di natura quantitativa.

Continuando l'esempio precedente avremo:

Frequenze congiunte

Come detto, le frequenze indicate sono quelle che realizzano al contempo entrambe le modalità x_i ed y_j. Ad esempio, con la frequenza congiunta 3 (in grassetto), si intende che sono 3 gli studenti che soddisfano al contempo sia la modalità x₂, sia y₄, ovvero 3 studenti diciassettenni hanno acquistato un telefono cellulare negli ultimi tre anni.

Si noti che disporre le modalità x_i ed y_j in riga o in colonna è indifferente:

Frequenze marginali

Aggiungendo una riga ed una colonna dove calcolare i rispettivi totali di colonna e di riga, si ottengono le cosiddette frequenze marginali:

La frequenza marginale 4 (in grassetto) indica che sono 4 il totale di studenti quindicenni; la 15 indica che è 15 il numero di studenti che hanno acquistato un telefono cellulare negli ultimi 3 anni e la 30 indica che sono 30 il numero totale di studenti dell'universo (o campione). Si noti che il numero di unità statistiche coinvolte dall'indagine n=30, si ricava sia come somma delle frequenze marginali x_i (5+15+10=30), sia come somma delle frequenze marginali y_j (6+4+3+7+5+5=30): indipendentemente dal criterio di raggruppamento (per età o per numero di cellulari acquistati), gli studenti totali sono comunque 30.

Considerando il carattere X, quindi le rispettive modalità e frequenze marginali, si ottiene una distribuzione monodimensionale:

Lo stesso dicasi considerando il carattere Y:

Si può cioè considerare una distribuzione bivariata anche come due separate distribuzioni monodimensionali. Per queste è possibile calcolare le medie e gli indici di variabilità già visti.